数学与理论计算机科学领域的十项重大突破

我们致力于为科学家和数学家提供加速发现的工具。为此，我们近期推出了“面向学术研究者的 ChatGPT”计划，为 10 万名科学家和数学家免费提供我们最先进的 ChatGPT 模型。同时，在模型开发过程中，我们持续用开放的研究问题来评估模型性能。

今年 5 月，我们在评估一个未发布模型时，发现了一个由 AI 生成的关于 Erdős 单位距离猜想的反例。这项工作已经激发了数学和理论计算机科学领域的进一步研究。今天，我们分享十项针对长期未解问题的研究成果。这些问题涵盖了高维几何、编码理论、算术电路复杂度、群论、算子代数、量子复杂度、格密码学和极值组合学等多个领域，均对各自领域具有重大意义，其中一些问题在整个数学界都备受关注。

十项研究成果

以下成果由我们下一代主要模型 Astra 的内部版本完成。使用 Sol API 计算，解决这些问题所需的总 token 数成本约为 2000 美元。人类研究人员与同一模型协作，将这些论证整理成论文手稿，随后模型将每个论证形式化为 Lean 证书。我们还为每个解决方案提供了模型对其思考过程的叙述。

1. 高维球堆积：在 Cohn–Elkies 阈值以下，得到了球堆积密度的新上界。
2. 二元码和球码：在任意指定最小距离下，二元码最大规模的指数级改进上界，并推广至高维球码。
3. 非 sofic 群：构造了非 sofic 群的存在性，解决了群论中的一个核心开放问题。
4. Connes 刚性猜想：反驳了一个长期存在的猜想，即某些群由其 von Neumann 代数唯一确定。
5. 算术电路复杂度：使用算术电路和公式计算永久式的新下界，包括阶为 n^4/log n 的算术公式下界。
6. 量子并行重复：针对一般双人量子博弈的指数并行重复定理，扩展了经典复杂性理论的基本原则。
7. 最近向量问题：最近向量问题的多项式因子近似困难性，这是与后量子密码学相关的基础格问题。
8. Ehrhart 体积猜想：确定了在每一维度中，质心为唯一内格点的凸体的最大可能体积。
9. 多色 Ramsey 数：多色三角形 Ramsey 数的超指数下界，解决了 Erdős 问题 183。
10. 极值数猜想：极值图论中紧致性和退化性猜想的结果，解决了 Erdős 问题 146 和 180。

对数学界的责任

能够对数学研究做出贡献的系统的出现，提出了技术公司无法单独回答的问题。关于 AI 在数学中的作用众说纷纭，我们深切尊重和理解那些对其影响表示担忧的人，包括《莱顿 AI 与数学宣言》的签署者。我们认为，归属应如实反映结果的产生方式：将完全由 AI 系统生成的证明归为人类作者，既会歪曲系统的贡献，也会曲解真正人类智力工作的本质。我们帮助准备了手稿并在 Lean 中形式化了证明，对其正确性负责，而数学论证本身是由我们的系统生成的。我们希望数学界能深入审视这些结果，将其置于适当的背景中，并通过新的研究和发现赋予其思想生命力。

随着 AI 系统演变为更复杂的研究合作者，确保广泛访问对于支持科学家和数学家在这一变革时代驾驭和定义其学科的未来至关重要。

相关后续研究

这些成果已引发多项后续研究，包括 Bloom、Sawin、Schildkraut 和 Zhelezov 的“实数上的和积猜想为假”；Pohoata 的“分裂素数及 Elekes-Rónyai 问题”；Saha、Xu 和 Ye 的“超常数维度下 SETH 假设的最远点对二次时间”；Goh 和 Hatami 的“实数上点线关联的通信复杂度”；以及 Lee、Pohoata 和 Zhu 的“Minkowski 网格具有大量重复距离”等。

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